10)Момент инерции
материальной токи, системы и твёрдого тела. Формулы расчета моментов инерции
разных симметричных тел. Теорема штейнера.
Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется
физическая величина, равная сумме
произведений масс л материальных точек системы на
квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
В
случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
где
интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом
случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.
момент
инерции сплошного цилиндра
но
так как pR2h — объем
цилиндра, то его масса m=pR2hr, а момент инерции
Если
известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс,
то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J
относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр
масс С тела,
сложенному с произведением массы т
тела на квадрат расстояния а между
осями:
В
заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела
считаются однородными, т — масса
тела).
Таблица 1
Теорема
Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только
от массы,
формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.
Согласно теореме Штейнера
(теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно
произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс
тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат
расстояния d между осями:
Если —
момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс
тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на
расстоянии от
неё, равен
,
где —
полная масса тела.