11)Момент силы. Основное уравнение динамики
вращающегося твёрдого тела. Условия равновесия твёрдого тела.
Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая
векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А
приложения силы, на силу F (рис.
25):
Здесь
М — псевдовектор, его направление
совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его
вращении от r к F. Модуль момента силы
где
a— угол между r и F; r
sina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и
точкой О —
плечо силы.
Моментом силы относительно неподвижной
оси z называется скалярная
величина Mz
, равная проекции на эту ось
вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси z.
Если
ось z совпадает с направлением вектора М, то момент
силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:
выражение для работы при вращении тела:
Пусть
сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, a — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы
равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на
бесконечно малый угол dj точка приложения В проходит путь ds=rdj и работа равна произведению проекции силы на
направление смещения на величину смещения:
можем
записать
где
Frsin a = Fl =Mz — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы
на угол поворота.
Работа
при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но поэтому Mzdj = Jzwdw, или
Учитывая,
что получаем
(18.3)
Уравнение
(18.3) представляет собой уравнение
динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Можно
показать, что если ось z
совпадает с главной осью инерции (см. § 20),
проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство
(18.4)
где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).