12)Кинетическая энергия вращающегося твердого тела, закреплённого в точке. Процессия. Гироскопы.

абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т₁, т₂,..., т_n, находящиеся на расстоянии r₁, r₂,..., r_n от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_i опишут окружности различных радиусов r_i, и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

(17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получаем

где J_z — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

(17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv²/2), следует, что момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m — масса катящегося тела; v_c — скорость центра масс тела; Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w — угловая скорость тела.

Гироско́п (от др.-греч. γῦρος «круг» и σκοπέω «смотрю») — устройство, способное реагировать на изменение углов ориентации связанного с ним тела относительно инерциальной системы координат, как правило, основанное на законе сохранения вращательного момента (момента импульса)

поведение гироскопа описывается уравнением:

$\vec{M}={{d \vec{L}}\over {dt}}={{d(I\vec{\omega})} \over {dt}}=I\vec{\varepsilon},$

где векторы $\vec{M}$ и $\vec{L}$ являются, соответственно, моментом силы, действующей на гироскоп, и его моментом импульса, скаляр — его моментом инерции, векторы $\vec{\omega}$ и $\vec{\varepsilon}$ угловой скоростью и угловым ускорением.

Отсюда следует, что момент силы $\vec{M}$ , приложенный перпендикулярно оси вращения гироскопа, то есть перпендикулярный $\vec{L}$ , приводит к движению, перпендикулярному как $\vec{M}$ , так и $\vec{L}$ , то есть к явлению прецессии. Угловая скорость прецессии $\vec{\Omega}_P$ гироскопа определяется его моментом импульса и моментом приложенной силы^[10]:

$\vec{M}=\vec{\Omega}_P \times \vec{L},$

то есть $\vec{\Omega}_P$ обратно пропорциональна скорости вращения гироскопа.

Прецессия гироскопа

Прецессия — явление, при котором момент импульса тела меняет своё направление в пространстве под действием момента внешней силы.

Наблюдать прецессию достаточно просто. Нужно запустить волчок и подождать, пока он начнёт замедляться. Первоначально ось вращения волчка вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка.