14.Кинематическое описание движения жидкости. Уравнение движения и равновесия жидкости. Идеальная жидкость.

1. Кинематическое описание движения жидкости.

При кинематическом описании движения жидкости удобнее всего рассматривать движение жидкости в данный момент времени в данной точке в целом, а не конкретно какой либо молекулы.

Основной характеристикой кинематического движения является скорость, которая характеризуется величиной и направлением в данный момент времени.

Для того чтобы описать движение жидкости рассматривают множество частиц жидкости, которые в различные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства. Если таких точек взять много и при этом зафиксировать время, то , в пространстве получится мгновенная картина распределения скоростей жидкости – поле скоростей. В каждой точке пространства будет указан вектор скорости той частицы жидкости, которая проходит через эту точку в рассматриваемый момент времени. Для графического представления поля скоростей используют линии тока - линии, в каждой точке которых касательная совпадает по направлению со скоростью частиц жидкости в данный момент времени. Часть жидкости, ограниченную линиями тока называют трубкой тока.

Если поле скоростей, а следовательно, и соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным или установившимся. Если же они меняются во времени, то движение называется нестационарным или неустановившимся. При стационарном движении скорость от времени не зависит, а зависит только от координат: В этом случае линии тока совпадают с траекториями движения отдельных частиц жидкости.

2.Уравнение движения и равновесия жидкостей.( ни в лекциях ни в учебнике этого нет.завтра спрошу на консультации, что конкретно он имел вииду и исправлю)

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

$\int\limits_V \frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dm = \int\limits_V \mathbf{g} \,dm - \oint\limits_S p \,d\mathbf{S}$ ,

где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что $dm = \rho \, dV$ , где ρ — плотность жидкости в данной точке, получим:

$\int\limits_V \rho\,\frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dV = \int\limits_V \rho\,\mathbf{g} \,dV - \int\limits_V \nabla p \,dV$

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

$\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \rho \mathbf{g} - \nabla p$

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}$

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v} = \mathbf{g} - \frac{1}{\rho}\nabla p$

где $\rho\left(x,y,z,t\right)$ — плотность жидкости,
$p\left(x,y,z,t\right)$ — давление в жидкости,
$\mathbf{v}\left(x,y,z,t\right)$ — вектор скорости жидкости,
$\mathbf{g}\left(x,y,z,t\right)$ — вектор напряжённости силового поля,
$\nabla$ — оператор набла для трёхмерного пространства.

3. Идеальная жидкость. Реальная жидкость обладает рядом свойств, таких как, например, вязкость – способность оказывать сопротивление перемещению одних частиц относительно других. Но при рассмотрении движения жидкости принято пользоваться понятием идеальной жидкости, то есть жидкости в которой отсутствует вязкость. Не смотря на то, что Идеальная жидкость— это идеализированная модель жидкости, она даёт достаточно хорошее описание реальных течений жидкостей. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей.