15.Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение
Бернулли.
1.Стационарное течение идеальной жидкости.
Течение жидкости представляет собой поле скоростей,
изображенное с помощью линий тока. Если
поле скоростей, то есть форма и расположение соответствующие ему линии тока не меняются с
течением времени, то движение жидкости называется стационарным или установившимся.
2.Уравнение Бернулли.
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47).
Пусть
в месте сечения S1 скорость течения v1,
давление p1 и высота, на которой
это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление p2
и высота сечения h2. За малый промежуток
времени Dt жидкость перемещается от сечения S1
к сечению 
, от S2 к 
.
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2—E1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:
E2 – E1 = А, (30.1)
где E1 и E2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при
перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1
и S2, за
рассматриваемый малый промежуток времени Dt. Для
перенесения массы m от
S1 до жидкость должна
переместиться на расстояние l1=v1Dt и от S2
до —
на расстояние l2=v2Dt. Отметим, что l1 и l2 настолько малы, что всем точкам объемов,
закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,
А = F1l1 + F2l2, (30.2)
где F1=p1S1 и F2= – p2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 47).
Полные энергии E1 и E2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:
(30.3)
(30.4)
Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим
(30.5)
Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.
Разделив выражение (30.5) на DV, получим
где р — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать
(30.6)
Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Из уравнения Бернулли следует, что при увеличении скорости течения (уменьшении сечения трубы) динамическое давление жидкости возрастает, а ее статическое давление уменьшается. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
