22) Гармонический осциллятор. Вынужденные колебания, дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.

 

Гармонический осциллятор – это система, в которой могут возбуждаться гармонические колебания.

Колебание – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Описываются уравнением:

Здесь А – максимальное значение колеблющейся величины, называемой амплитудой колебания,  – круговая (циклическая) частота,  - начальная фаза колебания в момент времени   - фаза колебания в момент времени .

Вынужденные колебания – это колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

Где  – максимальное значение вынужденной силы,  – циклическая частота колебаний вынуждающей силы.

 – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это уравнение делим на m

Обозначим ; ; .

Если внешняя сила не действует, т.е. , то  – уравнение свободных колебаний.

r – коэффициент сопротивления среды.

 - сила сопротивления

 - коэффициент характеристики сопротивления среды

Если сопротивление отсутствует, т.е. , то  - уравнение собственных колебаний системы.

- частота собственных колебаний системы.

Неоднородные колебания

Будем искать решение в виде: .

Решение:

Если , то частота собственных колебаний равна частоте вынужденных колебаний.

Т.е.  - это максимальное значение амплитуда – амплитуда резонанса колебаний.

Если , т.е. трение внешнее мало или отсутствует, то амплитуда стремится к бесконечности.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой частоте собственных колебаний системы.